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数のふしぎ・糸かけ幾何学アート(3)糸かけ

いよいよ糸かけです。糸かけは、いろんなやり方があり、どんな発想も間違いはありません。

今回ご紹介する糸かけは、ある一定の本数ごとの釘に糸をかけていって、起点に戻ったらおしまい、というものです。

一筆書きのようなものです。

一筆書きで、すべての釘に糸がかかる数を探そう。

たとえば、24ごとに掛けると、こういうことになります。

24本目の釘にかけて、次の24本で戻ってくる。

16本ごとだとこうなります。

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16→32→48

48と公約数を持っている数は、すべての釘を通りません。

たとえば20だと、48との公約数に「4」があるので

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20

18はどうでしょうか。48と18は、「6」を公約数に持ちます。

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18

すべての釘にはかかりません。

一筆書きですべての釘にかかるには、「48と公約数を持たないこと」が条件です。

48は2x2x2x2x3ですから、48以下で、それ以外の要素でできている数を考えればよいわけです。

もう一つの特徴。

ある数と、くぎの本数からある数を引いた数が作る形は、同じ形になります。

例えば、先ほどの16。16と、48-16=32は、同じ形です。

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16本目、32本目、48本目、とかけると右回りに、

32本おきで考えると、まず32本目、それから32を数えると、16本目にかかり、最後は起点に戻るという左回りに。

1で考えると、1と47は逆回転の同じ形になります。

なので、釘の半分の数以下(または以上)だけを調べればよいことになります。

さあ、ようやく始めましょう

まず、釘の数を半分の数を考えます。48本なら、半分は24。

その数より小さくて、最も24に近い素数から、かけてみましょう。

「素数」とは、1と自分自身だけを約数に持つ自然数のこと。見つけ方は、「エラトステネスのふるい」が便利。

media.qikeru.me

起点をゼロとして、23本おきに糸をかけていきます。

1,2,3,4…23。

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23本後は、46になる。足し算をせずに、ひたすら数えるやり方もOK。

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3回目は、48を超えていきます。

式で考えるとすれば、23(本)×3(回目)-48(1周分)=21

だから21のところに掛けます。でも、いちいち式を立てなくてもだいじょうぶ。

その調子で、4回目、5回目……
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23、完成図

糸でやると、こういうこと。

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23の次に小さい素数は……19。

23と同じように。3回目、148を越えるので、一本目の線をまたぎます。

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19、3回目

5回目をかけたところ。

 みんな大好き五芒星。どうしてこれが表れるのでしょう。f:id:mizugame23:20190930070701j:plain

 もう5回かけると

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へえ、と思いますよね。

ぐるぐるとかけて

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完成。

途中に「五芒星」があったことは、プロセスの中に隠れています。

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糸でかけると、

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下敷きになっている23がないと、

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23と19を比較すると、23を下敷きにした方がきれいにできそうだなということが分かります。だから、大きい数⇒小さい数、にかけていきます。

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23と19。

さあ、次は17。

こうきて

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こうきて

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こうきて……「三角形」に似た形が見えますね。

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以下同じで、こうですね。

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糸で掛けると、

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23, 19, 17

次は、13。

こんな感じで始まって

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こうです。

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糸でかけると

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21, 19, 17, 13

次は11

絵はだいぶしんどいです。

 

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糸かけ

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23, 19, 17, 13, 11

次は、7

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糸かけ

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23,19,17,13,11,7

5をかけてもいいですね。

数が小さくなると、円に近付いていくため、作業が難しくなります。

どんな感じになるかは、こちらの動画を↓

次回、材料のご紹介をいたします!

 

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